来源：黄言之的博客

传统的hash算法只负责将原始内容尽量均匀随机地映射为一个签名值，原理上相当于伪随机数产生算法。产生的两个签名，如果相等，说明原始内容在一定概率下是相等的；如果不相等，除了说明原始内容不相等外，不再提供任何信息，因为即使原始内容只相差一个字节，所产生的签名也很可能差别极大。从这个意义上来说，要设计一个hash算法，对相似的内容产生的签名也相近，是更为艰难的任务，因为它的签名值除了提供原始内容是否相等的信息外，还能额外提供不相等的原始内容的差异程度的信息。

而Google的simhash算法产生的签名，可以用来比较原始内容的相似度时，便很想了解这种神奇的算法的原理。出人意料，这个算法并不深奥，其思想是非常清澈美妙的。

Simhash算法

simhash算法的输入是一个向量，输出是一个f位的签名值。为了陈述方便，假设输入的是一个文档的特征集合，每个特征有一定的权重。比如特征可以是文档中的词，其权重可以是这个词出现的次数。simhash算法如下：

1，将一个f维的向量V初始化为0；f位的二进制数S初始化为0；

2，对每一个特征：用传统的hash算法对该特征产生一个f位的签名b。对i=1到f：

如果b的第i位为1，则V的第i个元素加上该特征的权重；

否则，V的第i个元素减去该特征的权重。 

3，如果V的第i个元素大于0，则S的第i位为1，否则为0；

4，输出S作为签名。

算法几何意义和原理

这个算法的几何意义非常明了。它首先将每一个特征映射为f维空间的一个向量，这个映射规则具体是怎样并不重要，只要对很多不同的特征来说，它们对所对应的向量是均匀随机分布的，并且对相同的特征来说对应的向量是唯一的就行。比如一个特征的4位hash签名的二进制表示为1010，那么这个特征对应的 4维向量就是(1, -1, 1, -1)^T，即hash签名的某一位为1，映射到的向量的对应位就为1，否则为-1。然后，将一个文档中所包含的各个特征对应的向量加权求和，加权的系数等于该特征的权重。得到的和向量即表征了这个文档，我们可以用向量之间的夹角来衡量对应文档之间的相似度。最后，为了得到一个f位的签名，需要进一步将其压缩，如果和向量的某一维大于0，则最终签名的对应位为1，否则为0。这样的压缩相当于只留下了和向量所在的象限这个信息，而64位的签名可以表示多达2⁶⁴个象限，因此只保存所在象限的信息也足够表征一个文档了。

明确了算法了几何意义，使这个算法直观上看来是合理的。但是，为何最终得到的签名相近的程度，可以衡量原始文档的相似程度呢？这需要一个清晰的思路和证明。在simhash的发明人Charikar的论文中[2]并没有给出具体的simhash算法和证明，以下列出我自己得出的证明思路。

Simhash是由随机超平面hash算法演变而来的，随机超平面hash算法非常简单，对于一个n维向量v，要得到一个f位的签名(f<<n)，算法如下：

1，随机产生f个n维的向量r1,…rf；

2，对每一个向量ri，如果v与ri的点积大于0，则最终签名的第i位为1，否则为0.

这个算法相当于随机产生了f个n维超平面，每个超平面将向量v所在的空间一分为二，v在这个超平面上方则得到一个1，否则得到一个0，然后将得到的 f个0或1组合起来成为一个f维的签名。如果两个向量u, v的夹角为θ，则一个随机超平面将它们分开的概率为θ/π，因此u, v的签名的对应位不同的概率等于θ/π。所以，我们可以用两个向量的签名的不同的对应位的数量，即汉明距离，来衡量这两个向量的差异程度。

Simhash算法与随机超平面hash是怎么联系起来的呢？在simhash算法中，并没有直接产生用于分割空间的随机向量，而是间接产生的：第 k个特征的hash签名的第i位拿出来，如果为0，则改为-1，如果为1则不变，作为第i个随机向量的第k维。由于hash签名是f位的，因此这样能产生 f个随机向量，对应f个随机超平面。下面举个例子：

假设用5个特征w1,…,w5来表示所有文档，现要得到任意文档的一个3维签名。假设这5个特征对应的3维向量分别为：

h(w1) = (1, -1, 1)^T

h(w2) = (-1, 1, 1)^T

h(w3) = (1, -1, -1)^T

h(w4) = (-1, -1, 1)^T

h(w5) = (1, 1, -1)^T

按simhash算法，要得到一个文档向量d=(w1=1, w2=2, w3=0, w4=3, w5=0) ^T的签名，

先要计算向量m = 1*h(w1) + 2*h(w2) + 0*h(w3) + 3*h(w4) + 0*h(w5) = (-4, -2, 6) ^T，

然后根据simhash算法的步骤3，得到最终的签名s=001。

上面的计算步骤其实相当于，先得到3个5维的向量，第1个向量由h(w1),…,h(w5)的第1维组成：

r1=(1,-1,1,-1,1) ^T；

第2个5维向量由h(w1),…,h(w5)的第2维组成：

r2=(-1,1,-1,-1,1) ^T；

同理，第3个5维向量为：

r3=(1,1,-1,1,-1) ^T.

按随机超平面算法的步骤2，分别求向量d与r1,r2,r3的点积:

d ^T r1=-4 < 0，所以s1=0;

d ^T r2=-2 < 0，所以s2=0;

d ^T r3=6 > 0，所以s3=1.

故最终的签名s=001，与simhash算法产生的结果是一致的。

从上面的计算过程可以看出，simhash算法其实与随机超平面hash算法是相同的，simhash算法得到的两个签名的汉明距离，可以用来衡量原始向量的夹角。这其实是一种降维技术，将高维的向量用较低维度的签名来表征。衡量两个内容相似度，需要计算汉明距离，这对给定签名查找相似内容的应用来说带来了一些计算上的困难；我想，是否存在更为理想的simhash算法，原始内容的差异度，可以直接由签名值的代数差来表示呢？

大规模网页的近似查重

详细内容可以看WWW07的 Detecting Near-Duplicates for Web Crawling。

例如，文本的特征可以选取分词结果，而权重可以用df来近似。

Simhash具有两个“冲突的性质”：

1. 它是一个hash方法

2. 相似的文本具有相似的hash值，如果两个文本的simhash越接近，也就是汉明距离越小，文本就越相似。

因此海量文本中查重的任务转换位如何在海量simhash中快速确定是否存在汉明距离小的指纹。也就是：在n个f-bit的指纹中，查询汉明距离小于k的指纹。

在文章的实验中，simhash采用64位的哈希函数。在80亿网页规模下汉明距离=3刚好合适。

因此任务的f-bit=64 , k=3 , n= 8*10^11

任务清晰，首先看一下两种很直观的方法：

1. 枚举出所有汉明距离小于3的simhash指纹，对每个指纹在80亿排序指纹中查询。（这种方法需要进行C（64，3）=41664词的simhash指纹，再为每个进行一次查询）

2. 所有接近的指纹排序到一起，这至多有41664排序可能，需要庞大的空间。提出的方法介于两者之间，合理的空间和时间的折中。

• 假设我们有一个已经排序的容量为2^d，f-bit指纹集。看每个指纹的高d位。该高低位具有以下性质：尽管有很多的2^d位组合存在，但高d位中有只有少量重复的。

• 现在找一个接近于d的数字d’，由于整个表是排好序的，所以一趟搜索就能找出高d’位与目标指纹F相同的指纹集合f’。因为d’和d很接近，所以找出的集合f’也不会很大。

• 最后在集合f’中查找 和F之间海明距离为k的指纹也就很快了。

• 总的思想：先要把检索的集合缩小，然后在小集合中检索f-d’位的海明距离

按照例子，80亿网页 有2^34 个，那么理论上34位就能表示完80亿不重复的指纹。我们假设最前的34位的表示完了80亿指纹，假设指纹在前30位是一样的，那么后面4位还可以表示2⁴个， 只需要逐一比较这16个指纹是否于待测指纹汉明距离小于3。

假设：对任意34位中的30位都可以这么做。

因此在一次完整的查找中，限定前q位精确匹配（假设这些指纹已经是q位有序的，可以采用二分查找，如果指纹量非常大，且分布均匀，甚至可以采用内插搜索），之后的2^d-q个指纹剩下64-q位需要比较汉明距离小于3。

于是问题就转变为如何切割64位的q。

将64位平分成若干份，例如4份ABCD，每份16位。

假设这些指纹已经按A部分排序好了，我们先按A的16位精确匹配到一个区间，这个区间的后BCD位检查汉明距离是否小于3。

同样的假设，其次我们按B的16位精确匹配到另一个区间，这个区间的所有指纹需要在ACD位上比较汉明距离是否小于3。

同理还有C和D

所以这里我们需要将全部的指纹T复制4份， T1 T2 T3 T4， T1按A排序，T2按B排序… 4份可以并行进行查询，最后把结果合并。这样即使最坏的情况：3个位分别落在其中3个区域ABC,ACD,BCD,ABD…都不会被漏掉。

只精确匹配16位，还需要逐一比较的指纹量依然庞大，可能达到2^d-16个，我们也可以精确匹配更多的。

例如：将64位平分成4份ABCD，每份16位，在BCD的48位上，我们再分成4份，WXZY，每份12位， 汉明距离的3位可以散落在任意三块，那么A与WXZY任意一份合起来做精确的28位…剩下3份用来检查汉明距离。 同理B，C，D也可以这样，那么T需要复制16次，ABCD与WXYZ的组合做精确匹配，每次精确匹配后还需要逐一比较的个数降低到2^d-28个。不同的组合方式也就是时间和空间上的权衡。

最坏情况是其中3份可能有1位汉明距离差异为1。

算法的描述如下：

1）先复制原表T为Tt份：T1,T2,….Tt

2）每个Ti都关联一个pi和一个πi，其中pi是一个整数, πi是一个置换函数，负责把pi个bit位换到高位上。

3）应用置换函数πi到相应的Ti表上，然后对Ti进行排序

4）然后对每一个Ti和要匹配的指纹F、海明距离k做如下运算：

a) 然后使用F’的高pi位检索，找出Ti中高pi位相同的集合

b) 在检索出的集合中比较f-pi位，找出海明距离小于等于k的指纹

5）最后合并所有Ti中检索出的结果

由于文本已经压缩成8个字节了，因此其实Simhash近似查重精度并不高：

附参考文献：

[1] Detecting near-duplicates for web crawling.

[2] Similarity estimation techniques from rounding algorithms.

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Locality_sensitive_hashing

[4] http://www.coolsnap.net/kevin/?p=23

[5] http://www.cnblogs.com/linecong/archive/2010/08/28/simhash.html

[6] http://blog.csdn.net/lgnlgn/article/details/6008498

博主注：本文主要就是拼接了参考文献[5][6]而成。