30 行 Python 代码搞定 X 算法

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假如你对数独解法感兴趣，你可能听说过精确覆盖问题。给定全集 X 和 X 的子集的集合 Y ，存在一个 Y 的子集 Y*，使得 Y* 构成 X 的一种分割。

这儿有个Python写的例子。

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Y = {

'A': [1, 4, 7],

'B': [1, 4],

'C': [4, 5, 7],

'D': [3, 5, 6],

'E': [2, 3, 6, 7],

'F': [2, 7]}

这个例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。

精确覆盖问题是NP完备（译注：指没有任何一个够快的方法可以在合理的时间内，意即多项式时间找到答案）。X算法是由大牛高德纳发明并实现。他提出了一种高效的实现技术叫舞蹈链，使用双向链表来表示该问题的矩阵。

然而，舞蹈链实现起来可能相当繁琐，并且不易写地正确。接下来就是展示Python奇迹的时刻了！有天我决定用Python来编写X 算法，并且我想出了一个有趣的舞蹈链变种。

算法

主要的思路是使用字典来代替双向链表来表示矩阵。我们已经有了 Y。从它那我们能快速的访问每行的列元素。现在我们还需要生成行的反向表，换句话说就是能从列中快速访问行元素。为实现这个目的，我们把X转换为字典。在上述的例子中，它应该写为

X = {

1: {'A', 'B'},

2: {'E', 'F'},

3: {'D', 'E'},

4: {'A', 'B', 'C'},

5: {'C', 'D'},

6: {'D', 'E'},

7: {'A', 'C', 'E', 'F'}}

眼尖的读者能注意到这跟Y的表示有轻微的不同。事实上，我们需要能快速删除和添加行到每列，这就是为什么我们使用集合。另一方面，高德纳没有提到这点，实际上整个算法中所有行是保持不变的。

以下是算法的代码。

def solve(X, Y, solution=[]):

if not X:

yield list(solution)

else:

c = min(X, key=lambda c: len(X[c]))

for r in list(X[c]):

solution.append(r)

cols = select(X, Y, r)

for s in solve(X, Y, solution):

yield s

deselect(X, Y, r, cols)

solution.pop()

def select(X, Y, r):

cols = []

for j in Y[r]:

for i in X[j]:

for k in Y[i]:

if k != j:

X[k].remove(i)

cols.append(X.pop(j))

return cols

def deselect(X, Y, r, cols):

for j in reversed(Y[r]):

X[j] = cols.pop()

for i in X[j]:

for k in Y[i]:

if k != j:

X[k].add(i)

真的只有 30 行！

格式化输入

在解决实际问题前，我们需要将输入转换为上面描述的格式。可以这样简单处理

1	X = {j: set(filter(lambda i: j in Y[i], Y)) for j in X}

但这样太慢了。假如设 X 大小为 m，Y 的大小为 n，则迭代次数为 m*n。在这例子中的数独格子大小为 N，那需要 N^5 次。我们有更好的办法。

X = {j: set() for j in X}

for i in Y:

for j in Y[i]:

X[j].add(i)

这还是 O(m*n) 的复杂度，但是是最坏情况。平均情况下它的性能会好很多，因为它不需要遍历所有的空格位。在数独的例子中，矩阵中每行恰好有 4 个条目，无论大小，因此它有N^3的复杂度。

优点

简单: 不需要构造复杂的数据结构，所有用到的结构Python都有提供。
可读性: 上述第一个例子是直接从Wikipedia上的范例直接转录下来的！
灵活性: 可以很简单得扩展来解决数独。

求解数独

我们需要做的就是把数独描述成精确覆盖问题。这里有完整的数独解法代码，它能处理任意大小，3×3，5×5，即使是2×3，所有代码少于100行，并包含doctest！（感谢Winfried Plappert 和 David Goodger的评论和建议）