算法题：删除 K 位数字

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1.问题描述

现有一个 n 位数，你需要删除其中的 k 位，请问如何删除才能使得剩下的数最大？

比如当数为 2319274， k=1 时，删去 2 变成 319274 后是可能的最大值。

2.问题分析

[1]贪心解法

这题可以使用贪心策略，每次从高位向低位数，删除高位比低位数字小的那位上的数字，直到删除了k位之后，得到的数字肯定是最大值。

(1)删数问题具有最优子结构：

(2)删数问题具有贪心选择性质：

设问题T已按照上面的方法删除，假设 A=(y1,y2,···,yk) 是删数问题的一个最优解。易知，若问题有解，则1≤k≤n。 (1)当k=1时，由前得证，A=(y1,A′)是问题的最优解，其中A′是A中不删除了y1而删除其他位的最优解； (2)当k=q时，由反证法，可得A=(y1,y2···,yq)是最优解；当k=q+1时，由前得证，A=(y1,y2···,yq+yq+1)是最优解。所以，删数问题具有贪心选择性质。

代码很容易实现，AC，1.484s，1.089MB

#include <string>

#include <iostream>

using namespace std;

int t,k,len;

string name;

void deletek(){

int tlen=name.length();

int tk=k;

bool flag=true;

while (k--> 0 && flag) {

flag=false;

len = name.length();

for (int i=0; i<len; i++) {

if (i+1<len && name[i]<name[i+1]) {

name.erase(i,1);

len--;

flag=true;

break;

}

cout << name.substr(0,tlen-tk) << endl;

}

int main(int argc, const char * argv[])

{

cin >> t;

while (t-->0) {

cin >> name;

cin >> k;

deletek();

}

return 0;

}

[2]动态规划解法

根据上面的分析可以看出此题还可用动态规划来解决，思路如下：

假设A(i,j)表示输入数字(字符串)的从第i位到第j位数字组成的字符串，S(i,j)表示前i位中删除j位得到的最优解，它实际上可以看做两个子问题：如果删除第j位，那么S(i,j)等于前i-1位删除j-1位的最优解加上第j位数字；如果不删除第j位，那么S(i,j)等于前i-1位删除j位的最优解。于是便有下面的递推式：

这个递推式非常类似最长公共子序列问题的递推式，所以解法也类似，在空间方面可以只使用一个一维数组，加上一个额外的O(1)的空间，计算过程如下面制作的表格所示，除了第一列，其他中间元素都只依赖于上面一行对应位置S(i−1,j)和上面一行左边位置S(i−1,j−1)两个元素的大小，比较的是字符串，使用字典序进行比较，C++内置的字符串比较函数compare即可。

动态规划实现代码 [这份代码没有AC，只能得到60分就超时了，应该还可以改进]。

#include <string>

#include <iostream>

using namespace std;

#define MAX_K 1001

int t,k;

string name;string up;string last;string temp;

void deletek(){

int len=name.length();

if(k>=len){

cout << "" << endl;

return;

}

string cur[MAX_K]={""};

for (int i=1; i <= len; i++) {

for (int j=0; j < i && j <= k; j++) {//

if (j==0) {//sub string

last=cur[j];

cur[j]=name.substr(0,i);

}else{//0 < j <= i

up=cur[j]+name[i-1];//

if (up.compare(last)>=0) {//up > left

last=cur[j];

cur[j]=up;

}else{//up < left

temp=cur[j];

cur[j]=last;

last=temp;

}

cout << cur[k] << endl;

}