任意波形的生成 (geneartion of arbitrary waveform) 在商业，军事等领域都有着重要的应用，诸如空间光通信 (free-space optics communication)， 高速信号处理 (high-speed signal processing)，雷达 (radar) 等。在任意波形生成后，如何评估生成的任意波形成为另外一个重要的话题。

scipy.optimize.leastsq

假设有一组实验数据，已知他们之间的函数关系：y=f(x)，通过这些信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，f 是一个线型函数 f(x)=k*x+b，那么参数 k 和 b 就是需要确定的值。如果这些参数用 p 表示的话，那么就需要找到一组 p 值使得如下公式中的 S 函数最小：

这种算法被称之为最小二乘拟合 (least-square fitting)。scipy 中的子函数库 optimize 已经提供实现最小二乘拟合算法的函数 leastsq。下面是 leastsq 函数导入的方式：

from scipy.optimize import leastsq

scipy.optimize.leastsq 使用方法

波形数据导入

在 Python科学计算——Numpy.genfromtxt 一文中，使用 numpy.genfromtxt 对数字示波器采集的三角波数据导入进行了介绍，今天，就以 4GHz三角波 波形的拟合为案例介绍任意波形的拟合方法。

Type:          raw
Points:        16200
Count:         1
...
Y Units:       Volt
XY Data:
2.4000000E-008, 1.4349E-002
2.4000123E-008, 1.6005E-002
2.4000247E-008, 1.5455E-002
2.4000370E-008, 1.5702E-002
...

data = np.genfromtxt('waveform.txt',delimiter=',',skip_header=18)

模型的选择

在 Python科学计算——如何构建模型？ 一文中，讨论了如何构建三角波模型。在标准三角波波形的基础上添加了横向，纵向的平移和伸缩特征参数，最后添加了噪声参数模拟了三角波幅度参差不齐的随机性特征。但在波形拟合时，并不是所有的特征参数都要纳入考量，例如，噪声参数应是波形生成系统的固有特征，正因为它的存在使得产生的波形存在瑕疵，因此，在进行波形拟合并评估时，不应将噪声参数纳入考量，最终模型如下：

def triangle_wave(x,p):
    a,b,c,T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x-b,T))+1+c/a, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x-b,T))-3+c/a, y)
    return a*y

波形拟合

在调用 scipy.optimize.leastsq 函数时，需要构建误差函数：

def residuals(p,y,x):
    return y - triangle_wave(x,p)

有时候，为了使图片有更好的效果，需要对数据进行一些处理：

x = data[:,0]
x_fig = map(lambda x : (x-data[0,0])*1e12, data[:,0]) # 画图数据
y = data[:,1]

leastsq 调用方式如下：

p0 = [1.056,215e-12,0.0108,2.51337e-10] # 初始参数
plsq = leastsq(residuals,p0,args=(y,x))
y2 = triangle_wave(x,plsq[0])

合理的设置 p0 可以减少程序运行时间，因此，可以在运行一次程序后，用拟合后的相应数据对 p0 进行修正。

数据可视化

在对波形进行拟合后，调用 pylab 对拟合前后的数据进行可视化：

pl.plot(x_fig, y, 'b', label='Experiment data', linewidth=3)
pl.plot(x_fig, y2, 'r--',label='Fitting data', linewidth=2)
pl.ylim(-1.5,2)
pl.xlabel('Time(ps)')
pl.ylabel('Amplitude[a.u.]')
pl.legend()
pl.show()

triangular waveform fitting

拟合效果评估

均方根误差 (root mean square error) 是一个很好的评判标准，它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，均方根误差能够很好地反映出测量的精密度。

RMSE 用程序实现如下：

variances = map(lambda x,y : (x-y)**2, y, y2)
variance = np.sum(variances)  
RMSE =  np.sqrt(variance/len(x))

拟合效果，模型参数输出：

print RMSE,plsq[0]
>>> 1.63442970685e-05 [  1.05325324e+00   2.15580302e-10   1.07998635e-02   2.51337252e-10]

其他模型

leastsq 函数适用于任何波形的拟合，下面就来介绍一些常用的其他波形：

方波

def square_wave(x,p):
    a, b, c, T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, 1+c/a, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>T/2, -1+c/a, y)
    return a*y

square wave

高斯波形

def gaussian_wave(x,p):
    a, b, c, d= p
    return a*np.exp(-(x-b)**2/(2*c**2))+d

gaussian wave

Stay hungry, Stay foolish. -- Steve Jobs