电影里的代码之《机械姬》：筛法求质数

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今天看了《机械姬》，探讨人工智能话题的电影，豆瓣评分7.5，还是蛮不错的一部电影。影片1:09:29处出现了一段python代码，细看了一下，发现是筛法求质数的python代码，写得非常简练的。先贴个电影的截图：

影片里的代码略微有点模糊，我重新打一遍，是下面这个样子的

#coding:utf8

import sys

def sieve(n):

#compute primes using sieve eratosthenes

x = [1] * n

x[1] = 0

for i in range(2,n/2):

j = 2 * i

while j < n:

x[j] = 0

j = j + i

return x

def prime(n,x):

#Find nth prime

i = 1

j = 1

while j <= n:

if x[i] == 1:

j = j + 1

i = i + 1

return i-1

x = sieve(10000)

code = [1206,301,384,5]

key = [1,1,2,2]

sys.stdout.write("".join(chr(i) for i in [73,83,66,78,32,61,22]))

for i in range(0,4):

sys.stdout.write(str(prime(code[i],x)-key[i]))

代码的最后打印出来下面这个很奇怪的东西，目测是一本书的ISBN，上豆瓣查了一下，是Embodiment and the Inner Life，是关于思维、意识的内容的，和本片的主题息息相关。

1	ISBN =9780199226559[Finished in 0.1s]

重点还是前面的两个函数实现的筛法求质数。首先介绍一下什么是筛法，筛法相传是古希腊的埃拉托斯特尼发明的一种检测素数的算法。筛法的思路非常简单，可以用下面的动图来描述。给定一个范围，首先用2去筛，把所有2的倍数都筛掉，然后再用3筛，用5筛，不断重复下去……

再来看代码

def sieve(n): //对n以内的数进行筛选，返回一个长度为n的布尔数组

#compute primes using sieve eratosthenes

x = [1] * n //定义长度为n的布尔数组（实际上电影里用1和0来表示true和false了）

x[1] = 0 //1既不是素数也不是合数，设为0

for i in range(2,n/2)://i从2开始一直到n/2

j = 2 * i //j从2倍i开始

while j < n:

x[j] = 0 //把所有i的倍数筛除

j = j + i //下一个i的倍数

return x //返回数组

def prime(n,x): //求第n个素数，只需要在筛选好的布尔数组中找第n个标记为1的数就可以了

#Find nth prime

i = 1 //初始化为1

j = 1

while j <= n: //在布尔数组中寻找第n个标记为1的数

if x[i] == 1:

j = j + 1

i = i + 1

return i-1 //前面循环中i多加了一次，返回时需要减1

可以看到，使用筛法求第n个质数的时间复杂度为O(nlog(n))，缺点在需要提前求得筛选的结果，增加了空间复杂度，筛选结果可以用比特位来表示以节省空间。

此外还有一个问题，在求第n个质数的时候，如何要确定第n个质数的大致范围，以确定筛选结果的布尔数组长度。根据素数定理，可以用来估算某个范围内的素数个数，可以用公式x/ln(x)来描述，ln表示自然对数，假设要估计10000以内有多少质数，代入公式10000/ln(10000)得到的结果为1085.73,使用上面的筛法得到的10000以为的质数个数为1229，可以看到估计值比实际值略小一点，估计的范围越大，估计值与实际值的误差越小。实际使用中可以通过公式计算估计值，然后按一定百分比扩大范围即可。