Distinct Subsequences

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters
without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example: S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

原题链接

动态规划法

复杂度

时间 O(NM) 空间 O(NM)

思路

这题的思路和EditDistance有些相似，我们需要一个二维数组dp(i)(j)来记录长度为i的字串在长度为j的母串中出现的次数，这里长度都是从头算起的，而且遍历时，保持子串长度相同，先递增母串长度，母串最长时再增加一点子串长度重头开始计算母串。

首先我们先要初始化矩阵，当子串长度为0时，所有次数都是1，当母串长度为0时，所有次数都是0.当母串子串都是0长度时，次数是1（因为都是空，相等）。接着，如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母不同，说明新加的母串字母没有产生新的可能性，可以沿用该子串在较短母串的出现次数，所以dp(i)(j) = dp(i)(j-1)。如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母相同，说明新加的母串字母带来了新的可能性，我们不仅算上dp(i)(j-1)，也要算上新的可能性。那么如何计算新的可能性呢，其实就是在既没有最后这个母串字母也没有最后这个子串字母时，子串出现的次数，我们相当于为所有这些可能性都添加一个新的可能。所以，这时dp(i)(j) = dp(i)(j-1) + dp(i-1)(j-1)。下图是以rabbbit和rabbit为例的矩阵示意图。计算元素值时，当末尾字母一样，实际上是左方数字加左上方数字，当不一样时，就是左方的数字。

示意图

     0    r    a    b    b    b    i    t
0    1    1    1    1    1    1    1    1
r    0    1    1    1    1    1    1    1
a    0    0    1    1    1    1    1    1
b    0    0    0    1    2    3    3    3
b    0    0    0    0    1    3    3    3
i    0    0    0    0    0    0    3    3
t    0    0    0    0    0    0    0    3

代码

public class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int n = s.length(), m = t.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(int j = 0; j < n; j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m+1; i++){
            for(int j = 1; j < n+1; j++){
                if(s.charAt(j-1)==t.charAt(i-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

Follow Up

Q：如果这个字符串有1000000个char怎么办？
A：用暴力法，对每一位开始向后检查是否是subsequence。